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原则十五
描绘这些形象，把它们对我们的外在感觉显示出来，使我们能较为容易地集中思维，这在大部分时间也是有用的。应该怎样描绘，才能够使这些形象呈现于我们眼底时，其种类更清晰地形成于我们的想象之中呢？这是不言而喻的。首先，我们可以有三种方式描绘单位：用一个，如果我们把它当作有长和宽的广延来对待；或者用一根直线——，如果我们仅仅从长度予以考虑或者用一个点，如果我们只把它当作组成多少者来看待。不过，无论人们怎样描述和设想，我们总是认为，它在任何情况下都是一个有广延的、能够有无数维的主体。任一命题的各项也是这样。假如必须一下子注意各项的两个不同量，我们就用一个长方形来表现。长方形两边即为所设两量，如下所示。假如该两量是用单位所不可度量的，或者用，或者用；假如它们是可度量的，如果不涉及多个单位，答案也就尽在这里了。如果我们只注意各项的一个量，我们将用两种形式描绘直线；或者用一个，它的一边即为所设该量，另一边为单位，即这样的形式，每逢必须把同一
线与某一面比较时都是这样；或者只用长度，像这样——，假如只把它当作不可度量的长度来看待，或者像这样……假如是多个（单位）。
原则十六
至于心灵观察时无需加以注意的事物，即使为作结论所需，与其使用完整形象，不如使用十分简略的符号来标志，因为，这样的话，就不会由于记忆不好而失误；另一方面，当思维致力于演绎出其它事物时，也不至于分散注意去记住这些。此外，我们已经说过，我们用幻想可能描述的维是无数的，因此，无论是用眼睛，还是用心灵，都不应该一次观察两个以上的不同维，我们必须记住一切其它维，使得每逢由于使用而有需要时就可以容易地予以呈现；自然创造记忆，似乎正是为了这个目的。但是，既然记忆时常会出差错，为了不至于当我们致力于其它思维的时候，被迫分散一些注意力去保持记忆新鲜，人工技艺极为恰当地发现了使用书写符号；书写符号给我们的帮助是有保证的，所以我们不必把额外负担交付给记忆，只需把幻想自由地完整地委之于呈现的意念，同时在纸上把一切必须记住的东西描述下来；这就必须使用十分简略的符号，这样，在按照原则九清清楚楚地考察了每一事物之后，才可以遵循原则十一以一次迅速的思维运动统统予以通观，一次尽可能多地察看之。
凡为解决一个困难而必须看作一的，我们都用慎重制定的一个单一符号来表示。但是，为求更方便起见，我们用字母a b c等表示已知量，用a b c等等表示未知量。在它们前面往往标上数字2，3，4等等以示其乘积，还可以加上数字表示应该知道的积分数，例如我写2a３，就是说，字母a 三乘方所示量的两倍。通过这样的奋勉努力，我们不仅仅压缩了许多言词，而且主要的是：我们还把各困难项显示得一清二楚，毫不略去任何有用的东西，其中却绝对没有多余的东西，在思维正应当一下子概括许多事物的时候，徒然耗费心灵的能力。为了更清楚地理解这一切，首先应该注意，计算家的习惯是：或者用若干单位，或者用某个数字表示每一个量，但是，在这种场合，我们是把数字本身抽象化，正如前面我们把几何形象抽象化，或把随便什么别的事物抽象化一样。我们这样做，既是为了避免由于冗长多余的计算而厌烦，也是——主要是为了使涉及困难的性质的主体各部分始终显示得清清楚楚，而不必用不必要的数字去徒增累赘。比方说，直角三角形已知两边为9和12，求其底，计算家会说，底为，即15；至于我们，则不说9和12，而是写上a和b，然后发现底为a2＋b2a2和b2这两部分始终显示得清清楚楚，而在数中却是模糊的。
还必须注意，所谓乘方数，指的是连续系列中前后相继的比例，有些人曾经在普通代数学中用若干维来表示，他们称第一次乘方为根，第二次为，第三次为立方，第四次为再立方，等等。我承认，这些名词曾经长期使我上当受骗，因为，我当时觉得，自直线和方形以下，最能清晰地呈现于我的想象的，莫过于立方形和其它诸如此类的图形。固然，在它们的帮助下我也曾在相当程度上解决了一些困难，但是，屡经试验之后，我终于理解到，以这种构想方式，我从没有发现任何东西是我不用这种方法就无法甚至更容易更清楚地认识的；我还理解到，当初就应该完全抛弃这些名词，免得它们扰乱（我们的）概念，因为，同一量，无论称为立方也好，再立方也好，绝对不会以其它形式，必定会依据前一原则以线或面的形式，呈现于想象。因此，尤其应该注意，根、平方、立方等等，无非是一些成连比的量。其前，我们假定始终缀有前面说过的取来的那个单位：对此一单位，第一比数以单一积方直接对比；但是，第二比数，则通过第一比数，从而以二积方对比；第三比数，通过第一和第二，以三积方，如此等等。代数上称为根的那个量，今后我将称为第一比数；称为的，则称之为第二比数，照此类推。
最后，还必须注意，即使我们在这里把困难各项从某些数字抽象出来，以便研究困难的性质，还是经常会碰到这样的情况：对于既定数，可以采取比把它抽象出来的办法更为简单的办法解决其中的困难。所以会有这样的情况，是由于前面已经谈到的那类数字有双重用途，即，同一数字有时表示秩序，有时表示度量。惟其如此，在竭力用一般项表达困难之所在以后，还应该把困难的性质还原为既定数，看看它们是否也许会给我带来更为简单的解决办法。简言之，在看出直角三角形一边为a，另一边为b，其底则为a2＋b2之后，应该写上81代替a2，144代替b2，其和为225，它的根，或者说单位和225之间的比例中项为15；由此可以看出，底15对于边9和12是可以通约的，但并不是泛泛而言，由于它是边与边之比为3比4的一个□角△形的底。无论我们区别什么事物，要求的都是明显清晰地认识事物，而不是像计算家那样，满足于得出所求数，即使他们丝毫不注意该数如何取决于既定项，而真知恰恰是仅在于此。
不过，一般还要注意这样一点：无需持续注意的事物，只要我们能够记录在纸上，就绝不要委之于记忆，这就是说，免得不必要地记住一些东西而分散我们的注意力，以至不去集中心智认识眼前的对象。应该制定一个表，把问题的各项，照它们初次提出的样子记录在内，然后载明它们是怎样抽象出来的以及用什么符号代表它们，以便在符号本身中找到解答以后，我们可以不依靠记忆，也同样容易地用之于当前问题所涉及的特殊主体。事实上，绝对没有任何事物不是从一个不那么泛泛的项中抽象出来的。因此，我将这样写：求□角△形abc的底ac，我把困难抽象出来，以便一般地从两边之量求底，然后，我写下a代表ab（ab为9），写下b代表bc（bc为12），如此这般。还要注意：我们在本论文第三部分中还要运用这四条原则，将比这里的说明论述得更详尽些，在适当的地方再说吧。
原则十七
应该直接通观所提困难，撇开有些项已知、有些项未知而不管，用若干次真正通观去察看它们是怎样互相依存的。上述的四条原则已经教导：必须怎样从每一主体把某些充分领悟的确定困难抽象出来，把它们加以归结，使人们以后不必再寻求其它，只需竭力认识某些同其它已知量有这样或那样比例关系的量。现在，在以下五条原则中，我们将陈述：必须怎样归结这些困难，才使得未知量无论在某一命题中有多少，统统可以彼此从属，而且使得第一量对单位之比，也就是第二量对第一量之比，第三量对第二量之比，第四量对第三量之比，这样连比下去，无论这些量有多少个，它们都构成一个总数，相等于某一已知量。这样做的时候，必须使用确定无疑的方法，使我们能够绝对有把握，保证奋勉努力所能归结为最简单项的莫过于此。
不过，至于本原则，必须注意，对于任何要用演绎解决的问题，都存在着无阻拦的直接途径，遵循之即可比其它途径更易于从某些项达到其它项，而一切其它途径都更为艰难而且间接。为了好好领悟这一点，我们应该记住：原则十一陈述了各命题，如果每一个都同最近命题相关联，彼此的联系会是怎样的情况，由此显而易见，最初的命题与最后的命题有怎样的关联，反过来说也是这样，即使我们不能同样容易地从中 间各项演绎出首尾两项。因此，如果我们在直观各命题依据怎样的从不间断的秩序互相依存时，能够推论出最后命题是怎样取决于最初命题的，那么我们就是直接通观了困难之所在；但是，相反，如果我们已经认识最初命题和最后命题互相以怎样的方式密切联系，想从中演绎出联结它们的各中项是什么，那么我们依据的是某种完全间接的相反秩序。然而，因为我们在这里研究的只是隐蔽的问题，即，必须依据某种混乱的秩序，从已知首尾两项去认识某些中间项，所以这里的全部技巧只在于：假定未知事物为已知事物，使我们能够准备一条容易而直接的道路，即使困难是极其错综复杂的。这一点是永远成立的，既然我们从这一部分一开始就已假定：我们承认任一问题中仍然未知者对于已知者有某种依赖关系，以至于仍然未知者为已知所决定；因此，如果当我们发现这种决